y = 2x² + 2mx + m -1 (C_m). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) m = 1 ⇒ y = 2x² + 2x

Tập xác định D = R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Tổng quát y = 2x² + 2mx + m -1 có tập xác định D = R

.

Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\)  và \(y'< 0\)  với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện
Hay  \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x=\dfrac{m}{2}\)

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:

\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).

c) (C_m) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt 

⇔ phương trình 2x² + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

Δ’ = m² – 2m + 2 = (m-1)² + 1 > 0 ∀m

Vậy (C_m) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.

\(m\ne\pm1\)

ĐKXĐ: \(x\in\left[-2018;2018\right];x\ne0\)

Miền xác định của hàm là miền đối xứng

Để ĐTHS nhận Oty làm trục đối xứng \(\Leftrightarrow\) hàm chẵn

\(\Leftrightarrow\) Với mọi m ta phải có: \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{m\sqrt{2018+x}+\left(m^2-2\right)\sqrt{2018-x}}{\left(m^2-1\right)x}=\dfrac{m\sqrt{2018-x}+\left(m^2-2\right)\sqrt{2018+x}}{-\left(m^2-1\right)x}\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+m-2\right)\sqrt{2018+x}=\left(-m^2-m+2\right)\sqrt{2018-x}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+m-2=0\\-m^2-m+2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(loại\right)\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a: Bạn bổ sung đề đi bạn

b: thay x=-3 và y=0 vào (d), ta được:

\(-3\left(2m+1\right)-m+3=0\)

=>-6m-3-m+3=0

=>-7m=0

=>m=0

d: y=(2m+1)x-m+3

=2mx+x-m+3

=m(2x-1)+x+3

Tọa độ điểm cố định mà (1) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\\y=x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Ta có bảng biến thiên :

Ta có bảng biến thiên :

Đáp án D

Điều kiện để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành  PT  y = 0    có ba nghiệm phân biệt. Xét PT

x 3 + 1 − 2 m x 2 + 2 2 − m x + 4 = 0 ⇔ x 3 + x 2 − 2 m x 2 + 2 m x + 4 x + 4 = 0 ⇔ x + 1 x 2 − 2 m x + 4 = 0

Để  PT này có ba nghiệm phân biệt thì 

Δ ' = m 2 − 4 > 0 − 1 2 − 2 m . − 1 + 4 ≠ 0 ⇔ m ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞ m ≠ − 5 2

a)

hoặc

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của y':

Rõ ràng, để hàm số có điểm cực đại tại x = -1 ta phải có

(Chú ý : trường hợp x₁ = x₂ thì hàm số không có cực trị).

b) (C_m) cắt Ox tại x = -2 ⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0 ⇔

- Nếu m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.

Mà y’’(0) = 4m < 0

⇒ x = 0 là điểm cực đại và là cực trị duy nhất của hàm số.

- Nếu m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên phương trình y’= 0 có 3 nghiệm

⇒ hàm số có 3 cực trị.

Bài 1:

Đặt:  (d):  y = (m+5)x + 2m - 10

Để y là hàm số bậc nhất thì:  m + 5 # 0    <=>   m # -5

Để y là hàm số đồng biến thì: m + 5 > 0  <=>  m > -5

(d) đi qua A(2,3) nên ta có:

3 = (m+5).2 + 2m - 10

<=>  2m + 10 + 2m - 10 = 3

<=>  4m = 3

<=> m = 3/4

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 nên ta có:

9 = (m+5).0 + 2m - 10

<=> 2m - 10 = 9

<=>  2m = 19

<=> m = 19/2

(d) đi qua điểm 10 trên trục hoành nên ta có:

0 = (m+5).10 + 2m - 10

<=> 10m + 50 + 2m - 10 = 0

<=>  12m = -40

<=> m = -10/3

(d) // y = 2x - 1  nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}m+5=2\\2m-10\ne-1\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}m=-3\\m\ne\frac{9}{2}\end{cases}}\)  <=>  \(m=-3\)

Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định M(x₀; y₀)

Ta có:  \(y_0=\left(m+5\right)x_0+2m-10\)

<=>  \(mx_0+5x_0+2m-10-y_0=0\)

<=>  \(m\left(x_o+2\right)+5x_0-y_0-10=0\)

Để M cố định thì:  \(\hept{\begin{cases}x_0+2=0\\5x_0-y_0-10=0\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}x_0=-2\\y_0=-20\end{cases}}\)

Vậy...